Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện Ôn thi vào lớp 10 môn Toán

Bạn đang xem bài viết Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện Ôn thi vào lớp 10 môn Toán tại Blogdoanhnghiep.edu.vn bạn có thể truy cập nhanh thông tin cần thiết tại phần mục lục bài viết phía dưới.

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện là tài liệu vô cùng hữu ích mà Blogdoanhnghiep.edu.vn muốn giới thiệu đến quý thầy cô và các em học sinh lớp 9 tham khảo.

Tài liệu được biên soạn chi tiết cả kiến thức lý thuyết ví dụ minh họa kèm theo các dạng bài tập tự luyện. Đây là nguồn tư liệu tham khảo giúp học sinh yêu thích môn Toán tự học, tự rèn luyện để nâng cao năng lực bản thân, tạo tiền đề vững chắc cho các lớp học sau này. Bên cạnh đó để học tốt môn Toán 9 các em xem thêm một số tài liệu như: chuyên đề Giải phương trình bậc 2 chứa tham số, bài tập hệ thức Vi-et và các ứng dụng.

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện

1. Định lý Vi-ét thuận

Cho phương trình bậc 2 một ẩn: $a{x^2} + bc + c = 0left( {a ne 0} right)$ * có hai nghiệm ${x_1},,,{x_2}$ . Khi đó hai nghiệm thỏa mãn hệ thức:

$left{ begin{matrix} S = {x_1} + {x_2} = dfrac{{ - b}}{a} hfill \ P = {x_1}{x_2} = dfrac{c}{a} hfill \ end{matrix} right.$

Hệ quả: Dựa vào hệ thức Vi-ét khi phương trình bậc 2 một ẩn có nghiệm, ta có thể nhẩm trực tiếp nghiệm của phương trình trong một số trường hợp đặc biệt sau:

+ Nếu a + b + c = 0 thì phương trình * có 2 nghiệm ${x_1} = 1$ và ${x_2} = frac{c}{a}$

+ Nếu a – b + c = 0 thì phương trình * có 2 nghiệm ${x_1} = - 1$ và ${x_2} = - frac{c}{a}$

2. Định lý Vi-ét đảo

Giả sử hai số ${x_1},,,{x_2}$ thực thỏa mãn hệ thức:

$left{ begin{matrix} {x_1} + {x_2} = S hfill \ {x_1}{x_2} = P hfill \ end{matrix} right.left( {{S^2} geqslant 4P} right)$

thì ${x_1},,,{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình bậc hai ${x^2} - Sx + P = 0$

3. Cách giải bài toán tìm m để phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước

+ Tìm điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x₁ và x₂ (thường là $a ne 0$ và $Delta geqslant 0$ )

+ Áp dụng hệ thức Vi-ét để biến đổi biểu thức nghiệm đã cho

+ Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm.

4. Ví dụ về bài toán tìm m để phương trình có 2 nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn điều kiện cho trước

Bài 1

Bài 3: Tìm m để phương trình ${x^2} + 2left( {m + 1} right)x - 2 = 0$ có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn $3{x_1} + 2{x_2} = 4$ .

Gợi ý đáp án:

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt $Leftrightarrow Delta ' > 0$

Ta có $Delta ' = {left( {m + 1} right)^2} - 4left( { - 2} right) = {left( {m + 1} right)^2} + 8 > 0forall m$

Với mọi m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

$left{ begin{matrix} {x_1} + {x_2} = - dfrac{b}{a} = - 2left( {m + 1} right) Rightarrow {x_1} = - 2left( {m + 1} right) - {x_2} hfill \ {x_2}{x_2} = dfrac{c}{a} = - 2 hfill \ end{matrix} right.$

Ta có $3{x_1} + 2{x_2} = 4$

$begin{matrix} Leftrightarrow - 6left( {m + 1} right) - 3{x_2} + 2{x_2} = 4 hfill \ Leftrightarrow {x_2} = - 6left( {m + 1} right) - 4 = - 10 - 6m hfill \ Rightarrow {x_1} = - 2left( {m + 1} right) + 6left( {m + 1} right) + 4 = 4m + 8 hfill \ end{matrix}$

Có ${x_1}{x_2} = - 2 Leftrightarrow - left( {6m + 10} right)left( {4m + 8} right) = - 2$

$begin{matrix} Leftrightarrow left( {6m + 10} right)left( {4m + 8} right) = 2 hfill \ Leftrightarrow 24{m^2} + 48m + 40m + 80 = 2 hfill \ Leftrightarrow 24{m^2} + 88m + 78 = 0 hfill \ Leftrightarrow left[ begin{matrix} m = dfrac{{ - 3}}{2} hfill \ m = dfrac{{ - 13}}{6} hfill \ end{matrix} right. hfill \ end{matrix}$

Vậy với $m = - frac{3}{2}$ hoặc $m = frac{{ - 13}}{6}$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn $3{x_1} + 2{x_2} = 4$ .

Bài 4: Cho phương trình ${x^2} - 5x + m = 0$ . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn $left| {{x_1} - {x_2}} right| = 3$

Gợi ý đáp án:

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt $Leftrightarrow Delta > 0$

Ta có $Leftrightarrow 25 - 4m > 0 Leftrightarrow m < frac{{25}}{4}$

Vậy với $m < frac{{25}}{4}$ phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

$left{ begin{matrix} {x_1} + {x_2} = dfrac{{ - b}}{a} = 5 hfill \ {x_1}{x_2} = dfrac{c}{a} = m hfill \ end{matrix} right.$

Có $A = left| {{x_1} - {x_2}} right| = 3 Rightarrow {A^2} = {left( {{x_1} - {x_2}} right)^2} = 9$

$begin{matrix} Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 - 2{x_1}{x_2} = 9 Leftrightarrow {left( {{x_1} + {x_2}} right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 9 hfill \ Leftrightarrow 25 - 4m = 9 Leftrightarrow 4m = 16 Leftrightarrow m = 4 hfill \ end{matrix}$

Vậy với m = 4 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn $left| {{x_1} - {x_2}} right| = 3$

Bài 2: Cho phương trình bậc hai ${x^2} - 2left( {m - 1} right)x + 2m - 5 = 0$ (x là ẩn số, m là tham số)

a) Chứng minh phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂ với mọi m,

b) Tìm m để hai nghiệm x₁, x₂ của phương trình có tổng hai nghiệm bằng 6

Gợi ý đáp án:

a) Ta có: $Delta ' = b{'^2} - ac$

$= {left( {m - 1} right)^2} - left( {2m - 5} right) = {m^2} - 4m + 6 = {left( {m - 2} right)^2} + 2 > 0forall m$

Vậy với mọi m thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂

b, Với mọi m thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

$left{ begin{matrix} {x_1} + {x_2} = dfrac{{ - b}}{a} = 2left( {m - 1} right) hfill \ {x_1}{x_2} = dfrac{c}{a} = 2m - 5 hfill \ end{matrix} right.$

Ta có tổng hai nghiệm bằng 6

$Rightarrow {x_1} + {x_2} = 6 Leftrightarrow 2left( {m - 1} right) = 6 Leftrightarrow m = 4$

Vậy với m = 4 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn tổng hai nghiệm bằng 6.

Bài 3: Cho phương trình ${x^2} - left( {2m + 3} right)x + m = 0$ (x là ẩn số, m là tham số)

a, Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b, Tìm m để hai nghiệm phân biệt của phương trình thỏa mãn $x_1^2 + x_2^2$ có giá trị nhỏ nhất.

Gợi ý đáp án:

a, Ta có $Delta = {b^2} - 4ac = {left( {2m + 3} right)^2} - 4m = 4{m^2} + 8m + 9 = 4{left( {m + 1} right)^2} + 3 > 0forall m$

Vậy với mọi m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂

b, Với mọi m thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

$left{ begin{matrix} {x_1} + {x_2} = dfrac{{ - b}}{a} = 2m + 3 hfill \ {x_1}{x_2} = dfrac{c}{a} = m hfill \ end{matrix} right.$

Ta có:

$begin{matrix} x_1^2 + x_2^2 = {left( {{x_1} + {x_2}} right)^2} - 2{x_1}{x_2} hfill \ = 4{m^2} + 12m + 9 - 2m = 4{m^2} + 10m + 9 hfill \ = {left( {2m + dfrac{5}{2}} right)^2} + dfrac{{11}}{4} geqslant dfrac{{11}}{4} hfill \ end{matrix}$

Dấu “=” xảy ra khi $m = frac{{ - 5}}{4}$

Vậy với $m = frac{{ - 5}}{4}$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1^2 + x_2^2$ đạt giá trị nhỏ nhất.

5. Bài tập tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Bài 1: Tìm m để phương trình ${x^2} + 2left( {m + 1} right)x + {m^2} - m + 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn $x_1^2 + x_2^2$

Bài 2 Tìm m để phương trình ${x^2} - 2left( {m - 1} right)x - 4 = 0$ có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn $frac{1}{{{x_1}}} + frac{1}{{{x_2}}} = 3$

Bài 3: Tìm m để phương trình $left( {m - 1} right){x^2} - 2x + 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn 2×1 + 3×2 = -1

Bài 4: Cho phương trình: x² – 14x + 29 = 0 có hai nghiệm x₁, x₂

Hãy tính:

a) ${x_1}^3 + {x_2}^3$

b) $frac{{1 - {x_1}}}{{{x_1}}} + frac{{1 - {x_2}}}{{{x_2}}}$

Bài 5: Cho phương trình x² – 2(m + 1)x + m – 4 = 0, m là tham số.

a) Giải phương trình khi m = -5.

b) Chứng minh rằng: Phương trình luôn có nghiệm x₁, x₂ với mọi tham số m.

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.

d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương.

e) Chứng minh rằng biểu thức A = x₁(1 – x₂) + x₂(x – x₁) không phụ thuộc tham số m.

Bài 6: Cho phương trình ẩn x: (m – a)x² + 2mx + m – 2 = 0

a) Giải phương trình khi m = 5.

b) Tìm m để phương trình có nghiệm $x = sqrt 2$ . Tìm nghiệm còn lại.

c) Tìm m để phương trình có nghiệm? Có 2 nghiệm phân biệt? Vô nghiệm? Có nghiệm kép?

d) Khi phương trình có nghiệm x₁, x₂ hãy tính:

i) A = x²₁ + x²₂ theo tham số m.

ii) Tìm m để A = 1

Bài 7: Cho phương trình ${x^2} + mx + 2m - 4 = 0$ (m tham số)

a, Chứng minh phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

b, Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn $x_1^2 + x_2^2$

Bài 8: Cho phương trình ${x^2} - 2x + m - 1 = 0$

a, Giải phương trình khi m = – 2

b, Tìm m để phương trình có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$ thỏa mãn ${x_1} = 2{x_2}$

Bài 9: Tìm m để phương trình $2{x^2} + left( {2m - 1} right)x + m - 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn $3{x_1} - 4{x_2} = 11$

Cảm ơn bạn đã xem bài viết Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện Ôn thi vào lớp 10 môn Toán tại Blogdoanhnghiep.edu.vn bạn có thể bình luận, xem thêm các bài viết liên quan ở phía dưới và mong rằng sẽ giúp ích cho bạn những thông tin thú vị.

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện

1. Định lý Vi-ét thuận

2. Định lý Vi-ét đảo

3. Cách giải bài toán tìm m để phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước

4. Ví dụ về bài toán tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện cho trước

5. Bài tập tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Bài Viết Liên Quan

4. Ví dụ về bài toán tìm m để phương trình có 2 nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn điều kiện cho trước