Cách so sánh tỉ số lượng giác So sánh tỉ số lượng giác

Cách so sánh các tỉ số lượng giác không dùng máy tính được biên soạn rất chi tiết gồm cả kiến thức lý thuyết ví dụng minh họa và các dạng tự luyện kèm theo.

So sánh các tỉ số lượng giác không dùng máy tính giúp các bạn học sinh tham khảo, hệ thống lại kiến thức để giải nhanh các bài tập về tỉ số lượng giác. Ngoài ra để nâng cao kiến thức môn Toán thật tốt các bạn xem thêm một số tài liệu như: tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, bất đẳng thức Cosi, chuyên đề Giải phương trình bậc 2 chứa tham số, bài tập hệ thức Vi-et và các ứng dụng.

I. Kiến thức cần nhớ về tỉ số lượng giác

1. Cho α, β là hai góc nhọn. Nếu α < β thì:

• sinα < sinβ; tanα < tanβ

• cosα > cosβ; cotα > cotβ

2. sinα < tanα và cosα < cotα

3. Cho góc nhọn x (0^o < 0 < 90^o), ta có:

• sinx = cos(90^o – x)

• cosx = sin(90^o – x)

• tanx = cot(90^o – x)

• cotx = tan(90^o – x)

II. Cách so sánh các tỉ số lượng giác

• Đưa các tỉ số lượng giác về cùng một loại.

• Biểu diễn tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt trên trục số.

• Chèn các tỉ số cần sắp xếp lên trục số ta được thứ tự của chúng.

III. Ví dụ minh họa so sánh các tỉ số lượng giác

Ví dụ 1: Không dùng bảng số và máy tính bỏ túi, hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự từ lớn đến nhỏ

a) sin78^o, cos14^o, sin47^o, cos87^o

b) tan73^o, cot25^o, tan62^o, cot38^o

Gợi ý đáp án

a) sin78^o, cos14^o, sin47^o, cos87^o

Ta có:

• sin78^o = cos(90^o – 78^o) = cos12^o

• sin47^o = cos(90^o – 47^o) = cos43^o

Do nếu α < β thì cosα > cosβ nên ta có: cos12^o > cos14^o > cos43^o > cos87^o

Hay sin78^o > cos14^o > sin47^o > cos87^o

b) tan73^o, cot25^o, tan62^o, cot38^o

Ta có:

• cot25^o = tan(90^o – 25^o) = tan65^o

• cot38^o = tan(90^o – 38^o) = tan52^o

Do nếu α < β thì tanα < tanβ nên ta có tan73^o > tan65^o > tan62^o > tan52^o

Hay tan73^o > cot25^o > tan62^o > cot38^o

Ví dụ 2: Không dùng bảng số và máy tính bỏ túi, hãy so sánh:

a) tan28^o và sin28^o

b) cot42^o và cos42^o

c) cot73^o và sin17^o

Gợi ý đáp án

a) Do sinα < tanα nên sin28^o < tan28^o

b) Do cosα < cotα nên cos42^o < cot42^o

c) Ta có: cot73^o = tan(90^o – 73^o) = tan17^o

Do sinα < tanβ nên sin17^o < tan17^o ⇔ sin17^o < cot73^o

Ví dụ 3: Không dùng bảng số và máy tính bỏ túi, hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự từ nhỏ đến lớn

a) sin20^o, cos20^o, sin55^o, cos40^o, tan70^o

b) tan70^o, cot60^o, cot65^o, tan50^o, sin25^o

Gợi ý đáp án

a) Ta có:

• cos40^o = sin(90^o – 40^o) = sin50^o

• cos20^o = sin(90^o – 20^o) = sin70^o

Do nếu α < β thì sinα < sinβ ⇒ sin20^o < sin50^o < sin55^o < sin70^o < tan70^o

b) Ta có:

• cot60^o = tan(90^o – 60^o) = tan30^o

• cot65^o = tan(90^o – 65^o) = tan25^o

Do nếu α < β thì tanα < tanβ ⇒ sin25^o < tan25^o < tan30^o < tan50^o < tan70^o

Ví dụ 4: Không dùng bảng lượng giác và máy tính bỏ túi, hãy so sánh:

a) tan42^o và sin42^o

b) cot11^o và cos11^o

c) tan32^o và cos58^o

Gợi ý đáp án

a) tan42^o và sin42^o

Do sinα < tanα nên sin42^o < tan42^o

b) cot11^o và cos11^o

Do cosα < cotα nên cot11^o > cos11^o

c) tan32^o và cos58^o

Ta có: cos58^o = sin(90^o – 58^o) = sin32^o

Do sinα < tanα nên sin32^o < tan32^o hay cos58^o < tan32^o

Ví dụ 5: Không dùng bảng lượng giác và máy tính bỏ túi, hãy so sánh:

a) sin25^o và sin70^o

b) cos40^o và cos75^o

c) tan50^o28′ và tan63^o

d) cot14^o và cot35^o12′

Gợi ý đáp án

a) Do nếu α < β thì sinα < sinβ ⇒ sin25^o < sin70^o

b) Do nếu α < β thì cosα > cosβ nên ta có: cos40^o > cos75^o

c) Do nếu α < β thì tanα < tanβ nên ta có: tan50^o28′ < tan63^o

d) Do nếu α < β thì cotα > cotβ nên ta có: cot14^o > cot35^o12′

Ví dụ 6: Không dùng bảng số và máy tính bỏ túi, hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần

a) cos22^o, sin35^o, cos37^o, cos63^o, sin44^o

b) tan82^o, cot36^o, cot27^o, tan12^o

Gợi ý đáp án

a) cos22^o, sin35^o, cos37^o, cos63^o, sin44^o

Ta có:

• cos22^o = sin(90^o – 22^o) = sin68^o

• cos37^o = sin(90^o – 37^o) = sin53^o

• cos63^o = sin(90^o – 63^o) = sin27^o

Do nếu α < β thì sinα < sinβ ⇒ sin27^o < sin35^o < sin44^o < sin53^o < sin68^o

Hay cos63^o < sin35^o < sin44^o < cos37^o < cos22^o

b) tan82^o, cot36^o, cot27^o, tan12^o

Ta có:

• cot36^o = tan(90^o – 36^o) = tan54^o

• cot27^o = tan(90^o – 27^o) = tan63^o

Do nếu α < β thì tanα < tanβ ⇒ tan12^o < tan54^o < tan63^o < tan82^o

Hay tan12^o < cot36^o < cot27^o < tan82^o

IV. Bài tập tỉ số lượng giác

Bài 1: Cho α là góc nhọn. Hãy sắp xếp tỉ số lượng giác theo thứ tự tăng dần (không dùng bảng lượng giác và máy tính): cot40°, sin50°, cos55°, tan70°.

Bài 2. Không dùng bảng lượng giác và máy tính hãy so sánh: cos24° và tan50°.

Bài 3 Hãy tính biểu thức A = sin²5° + sin²25° + sin²45° + sin²65° + sin²85°và so sánh A với 1

Bài 4. Hãy so sánh A = cos ² 52° sin45° + sin ² 52°cos45° với 1.

Bài 5. Không dùng bảng số và máy tính, so sánh:

a) sin20° và sin70° b) cos60° và cos70°

c) tan73°20’ và tan45° d) cot23° và cot37°40’

Bài 6. Hãy tính.

a) A = cos²20° + cos²30° + cos²40° + cos²50° + cos²60° + cos²70° + cos²90°;

b) B = sin45°cos²47° + sin²47°cos45°.

Bài 7. Hãy so sánh:

a) sin40° và sin70°

b) cos80° và cos50°

c) tan73°20’ và tan65°

d) cot53° và cot37°20’

Bài 8. Sắp xếp tỉ số lượng giác sau theo thứ tự từ giảm dần (không dụng máy tính)

a) tan56°32′,cot67°18′,tan32°48′,cot29°15′,tan80°;

b) sin24°,cos70°36′,sin57°,cos63°41′,cos85°,sin43°;

c) sin35°, cot45°, tan55°, cos65°.